二次函数交互式演示

参数设置

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当前函数: f(x) = x²

对称轴: x = 0

顶点坐标: (0, 0)

与y轴交点: (0, 0)     与x轴交点: 无

函数图像

二次函数知识点

定义

二次函数是形如 f(x) = ax² + bx + c（a ≠ 0）的函数，其中a、b、c是常数。

图像特点

二次函数的图像是一条抛物线：

  • 当a > 0时，抛物线开口向上
  • 当a < 0时，抛物线开口向下
  • |a|的值越大，抛物线越"窄"；|a|的值越小，抛物线越"宽"

重要性质

  1. 对称轴：x = -b/(2a)
  2. 顶点坐标：(-b/(2a), f(-b/(2a)))
  3. 与y轴交点：(0, c)
  4. 与x轴交点：解方程 ax² + bx + c = 0
    • 当 b² - 4ac > 0 时，有两个不同的交点
    • 当 b² - 4ac = 0 时，有一个交点（重根）
    • 当 b² - 4ac < 0 时，没有交点

标准形式

二次函数还可以写成顶点形式：f(x) = a(x - h)² + k，其中(h, k)是抛物线的顶点。

应用

二次函数在物理、经济和工程等领域有广泛应用：

  • 物体的抛物线运动
  • 最大/最小值问题
  • 利润最大化
  • 面积和体积优化